没有 β、都是 α ?

作者：石川，北京量信投资管理有限公司创始合伙人，清华大学学士、硕士，麻省理工学院博士。《因子投资：方法与实践》领衔作者。

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摘

要

Not Really !

01

金融学会议的每篇论文通常都有一个 discussant，负责对论文提出建设性意见。在金融学顶会上，discussant 的发言比原报告更加精彩的情况也并不罕见。而如果当 discussant 是 Bryan Kelly 时，上述情形就几乎一定会出现。

近日，Kelly 又“火力全开”了（对了，我老早之前又被 Kelly 圈粉了）。

02

在前不久的 NBER SI 2022 的 Asset Pricing Session 中，Lopez-Lira and Roussanov (2022) 汇报了一篇题为 Do common factors really explain the cross-section of stock returns? 的文章。文章的结论非常抓人眼球，他们拒绝了 APT：

他们是怎么得出这样的结论呢？分三步：

1. 从 APT 出发，解释预期收益的因子应该和资产收益率的 COV 矩阵有关，因此 Lopez-Lira and Roussanov (2022) 使用日收益率并通过 PCA 构造了隐性风险因子；

2. 该文进而基于大量公司特征并使用 Random Forest 构造了 test assets；

3. 最后，该文利用 test assets 构造了关于隐性因子中性（即无暴露）的投资组合，获得了显著的超额收益，因此他们拒绝了 APT。

上述逻辑似乎看上去没有什么毛病。而如果这个结论成立，那就意味着“没有  ，都是  ”。有意思的是，这并不是两位作者第一次汇报这项研究。然而“不幸的是”，这回等待着他们的是 Bryan Kelly。

03

本节我们就跟着 Kelly 的 slides 看看这篇论文的实证结果和结论到底有什么问题。

Kelly 首先用三页 slides 总结了该文的结果（如下）。这部分没啥可说的，我也不多做 comment。

接下来就是关键的，Kelly 开始讨论该文的结论。首先，他指出所有人（尤其是研究资产定价的人）都知道，我们总能找到 benchmark model 无法解释的 test assets 从而拒绝 benchmark model，所以这并不新鲜。但是，拒绝 APT 这个表述是不准确的，可以说拒绝了某个多因子模型，但是不能说拒绝了 APT。此外，在 Lopez-Lira and Roussanov (2022) 的实证结果中，最令他担忧的并非 benchmark model 无法解释 test assets 的预期收益率，而是通过 PCA 构造的这个 benchmark model 里面的因子的 risk premium 全都是零。

下表展示了 Lopez-Lira and Roussanov (2022) 中因子的 risk premium。

在 Kelly 看来，factor risk premium 都是零（if true）才是 real main result。可惜的是，这个 if 要打一个大大的问号。之前大量的实证结果已经表明，很多能够解释资产共同运动的因子的 risk premium 都显著不为零。难道是那些文章错了吗？还是这篇文章的 PCA 实证有什么问题？对此，Kelly 认为该文的因子存在 inconsistent conditioning information 问题（这绝对是 Kelly 这个 discussion 的 WOW moment）。

04

结合下面这张 slide 来理解一下 inconsistent conditioning。由资产定价理论可知，资产的条件预期收益率由资产和 SDF 的条件协方差决定（下图中的公式）。而在 Lopez-Lira and Roussanov (2022) 一文中，用来预测预期收益率（即构造 test assets）的 information set 是大量的公司特征，反观用来计算隐性因子的信息仅仅是日收益率。这就是不一致性所在。

单纯利用日收益率并通过 PCA 来构造隐性因子，这是得到 factor risk premium 为零这个错误结论的直接原因。具体而言，这里面存在两个问题：（1）估计因子溢价时存在大量误差；（2）公司特征中涵盖了大量预测未来  （对，这里关注的是  ，而不是预期收益率）的预测信息，如果仅仅使用日收益率则完全忽视了它们。

关于第一点，感兴趣的小伙伴可以找一些 random matrix theory（RMT）的资料看看（比如 Lettau and Pelger 2020）。简单的说就是基于日收益率的 PCA 很难准确估计因子的 risk premium。下面是我做的一个小实验，在实验中假设已知收益率的 data generating process 并利用样本数据估计 30 个资产的 COV 矩阵。由于 DGP 已知，因此 population COV 矩阵已知，这允许我们计算样本 COV 矩阵和 population COV 矩阵的误差。下图的横坐标表示 sample size，纵坐标表示估计误差（通过对 10000 个 simulation 结果取均值计算）。可以看到，对于仅仅 30 个资产的 COV 矩阵的估计，需要  这个量级的 sample size 才能准确估计。

更关键的是，上面这个还仅仅是 COV 矩阵的估计误差，而非基于样本 COV 矩阵进行 PCA 分析的误差。RMT 的相关研究表明，当 sample size 有限的时候，基于样本 COV 进行 PCA 得到的特征向量和总体特征向量之间的夹角在 80 度以上（几乎垂直了）。PCA 了个寂寞。

另外，Kelly 关于第一点的讨论也让我想起了 Bryzgalova, Huang, and Julliard (2020) 的 Bayesian estimator，而估计误差正是她们提出 Bayesian estimator 的动机。感兴趣的小伙伴请参考《Bayesian Two-Pass Regression》。

对于第二个问题，Kelly, Moskowitz, and Pruitt (2021) 指出，公司特征能够有效预测未来的beta，因此仅仅基于日收益率会丢失掉大量的信息。关于如何解决 inconsistent conditioning 问题，Kelly 建议参考他和合作者提出的 IPCA 方法（Kelly, Pruitt, and Su 2019）。

最后，Kelly 对该文的结论进行了总结。在他看来，声称拒绝了 APT 为时尚早（且是错误的），而该文最大的问题 —— 正如上面所述 —— 是 risk factor 的 risk premium 为零。对于任何一篇实证资产定价研究来说，这样的结果应该是一个 red flag，它表明 latent factor estimator 并没有想象的那么美好。

05

如果 Lopez-Lira and Roussanov (2022) 的实证结果没问题，那么它意味着人们可以找到并利用解释预期收益而和资产波动无关的因子，即“全是  ，没有  ”，这将和 Kozak, Nagel, and Santosh (2018) 基于“市场中不存在近似无风险套利机会”这一假设得出的结论相左，也和过去几十年大量的实证结果相矛盾。

最后，Kelly 以“Extremely thought provoking paper! I learned a lot.” 结束了他的讨论。和 Lopez-Lira and Roussanov (2022) 这篇文章相比，Kelly 的观点无疑更加精彩，而大佬之间思维的碰撞和毫不敷衍的深刻讨论也正是推动金融学发展的驱动力。

Kelly rocks!

参考文献

Bryzgalova, S., J. Huang, and C. Julliard (2020). Bayesian solutions for the factor zoo: We just run two quadrillion models. Working paper.

Kelly, T. B., T. J. Moskowitz, and S. Pruitt (2021). Understanding momentum and reversal. Journal of Financial Economics 140(3), 726 – 743.

Kelly, B. T., S. Pruitt, and Y. Su (2019). Characteristics are covariances: A unified model of risk and return. Journal of Financial Economics 134(3), 501 – 524.

Kozak, S., S. Nagel, and S. Santosh (2018). Interpreting factor models. Journal of Finance 73(3), 1183 – 1223.

Lopez-Lira, A. and N. Roussanov (2022). Do common factors really explain the cross-section of stock returns? Working paper.

Lettau, M. and M. Pelger (2020). Estimating latent asset-pricing factors.Journal of Econometrics 218(1), 1 – 31.

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